Впрямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см. найдите площадь этого треугольника.

авс - прям. тр-ик. угол с = 90 гр., угол а = 60 гр

т.о - пересечение биссектрис углов а и с - центр вписанной окр-ти.

проведем ок перпенд. ас

ок = r = 2кор3 радиус вписанной окружности. угол оас = 30 гр, угол оса = 45 гр.

из пр. тр-ов сок и аок можно выразить катет ас:

ас = r + (r/tg30) = 2кор3 + 6

находим другой катет:

вс = ac*tg60 = 6 + (6кор3)

находим площадь:

s = (1/2)ac*bc = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6+4кор3) = 12(3+2кор3)

авсд -четырехугольник

ас пересекает вд в т.о,

пусть авсд трапеция, т.е. вс паралельна ад, значит δвос подобен δдоа (по трем углам), отсюда ао/од=ос/ов

ос=ас-оа=12

15/12=10/8

5/4=5/4, справедливо, значит авсд трапеция что и требовалось доказать

периметр   треугольника 20 см